Page du jeudi 20 septembre 2018


Idiomathique du jour

Peut-on encore croire aux vérités mathématiques lorsqu'on sait que les mathématiciens utilisent souvent des nombres irrationnels ?


Paul Erdös, le mathématicien errant 



Le mathématicien hongrois Paul Erdös est mort le 20 septembre 1996.
La vie d'Erdös fut vraiment étrange. Il n'avait pas de maison, pas d'épouse, les contingences matérielles étaient pénibles pour lui. Il voyageait en solitaire, accompagné de deux valises qui portaient toutes ses affaires, allant d'université en université, habitant à l'hôtel ou chez un ami mathématicien...

Chercheur très prolifique, il a publié, toutes disciplines confondues, plus de 1 500 articles de recherche. Ses domaines de prédilection étaient la théorie des graphes, la théorie des nombres et la combinatoire.

Sa vie est racontée dans le livre de Paul Hoffman : "Erdös, l'homme qui n'aimait que les nombres". Dans cette biographie, l'auteur présente aussi, de façon simple et compréhensible par tous, les problèmes mathématiques abordés par Erdös. (sur amazon ...)

Voici deux problèmes posés par Erdõs trouvés sur le site des Récréations mathématiques de Diophante.

Problème 1 :
Quelle est la dimension maximale d'un sous-ensemble de nombres entiers (a_1,...,a_k) choisis parmi les entiers 1,2,...,n tels que a_i + a_j ne soit jamais un carré parfait (i et j quelconques y compris i=j). Par exemple si n=7 alors (1,4,6,7) est l'un des sous-ensembles recherchés.
Quelle est le sous-ensemble des 100 premiers nombres entiers qui a cette propriété avec le plus grand nombre possible d'éléments ?

Problème 2
Paul Erdös avait le goût des problèmes s'exprimant en quelques mots. Quoi de plus simple que cet énoncé : « n points distincts dans le plan. A partir de quelle valeur de n est-on certain de pouvoir former un triangle non isocèle avec trois d'entre eux ? »
La réponse est n = 7 mais la démonstration difficile sort du domaine de nos récréations mathématiques.
Essayer de construire dans le plan six points dont trois quelconques sont toujours les sommets d'un triangle isocèle.

Erdös est par ailleurs l'auteur de nombreux "erdosismes", comme cette phrase célèbre :
"Un mathématicien est une machine à transformer le café en théorème."
Une de ses maximes favorites était :
"Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution."

Autre citation de Paul Erdös :
Pourquoi les nombres sont-ils beaux ? 
Cela revient à se demander pourquoi la neuvième symphonie de
Beethoven est belle. Si vous ne voyez pas pourquoi, personne ne
pourra vous l'expliquer.
Je sais que les nombres sont beaux.
S'ils ne sont pas beaux, rien ne l'est.


 

Moritz Pasch et son axiome 


Le mathématicien allemand Moritz Pasch est mort le 20 septembre 1930.

Il s'est intéressé à l'axiomatisation de la géométrie. Sa volonté d'éviter tout recours à l'intuition l'a amené à mettre en évidence des propriétés qu'on ne pouvait pas démontrer à l'aide des seuls postulats d'Euclide.
Ainsi :
Lorsque 4 points A, B, C et D sont alignés, si B est entre A et C, et si C est entre B et D, alors B est entre A et D.
Ou :
Si une droite est sécante à un côté d'un triangle, alors elle est sécante à l'un des deux autres. (axiome de Pasch)

Citation de Pash sur la rigueur mathématique :
"On énoncera explicitement les concepts primitifs au moyen desquels on se propose de définir logiquement les autres. On énoncera explicitement les propositions fondamentales (postulats) grâce auxquelles on se propose de démontrer logiquement les autres propositions (théorèmes). Ces propositions fondamentales doivent apparaître comme de pures relations logiques entre les concepts primitifs, et cela indépendamment de la signification que l'on donne à ces concepts primitifs."

On pourra consulter la page "La géométrie elliptique et l'axiome de Pasch" sur le site de l'IREM de la Réunion.

 

Frank Nelson Cole et la factorisation de M67 


Le mathématicien américain Frank Nelson Cole est né le 20 septembre 1861.
Le Prix Frank Nelson Cole a été créé en son honneur.

Il est connu pour avoir factorisé le nombre de Mersenne 2^67-1 (ou M67) en 1903.
Alors qu'il devait faire une conférence devant les membres de l'American Mathematical Society, Cole alla, sans un mot, calculer la valeur de M67 jusqu'à obtenir
147 573 952 589 676 412 927.
Il alla ensuite à l'autre bout du tableau calculer, toujours à la main,
193 707 721×761 838 257 287
et obtint le même résultat.
Puis il retourna à sa place toujours sans prononcer la moindre parole. Cette prestation d'environ une heure de calculs sans commentaires fut reçue par une standing ovation. Plus tard, Cole admit que cette factorisation lui avait pris "trois ans de dimanches".

Aujourd'hui il suffit d'utiliser Wims, par exemple à partir de Labomath, pour obtenir la factorisation de Cole en moins d'une seconde, mais on n'a pas droit à une standing ovation pour autant.
(voir ici...)

 


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