Page du mardi 13 février 2024

Idiomathique du jour

Il ne faut pas croire que dans un repère l'axe des y est un axe désordonné.

Jan Lukasiewicz et la notation polonaise inverse

Le philosophe et logicien polonais Jan Lukasiewicz est mort le 13 février 1956.
Il est l'inventeur en 1920 de la notation préfixée, dite "polonaise" en son honneur.
Prenons par exemple l'expression 5*(12+4). Elle consiste à faire le produit de 5 par la somme de 12 et 4. La notation préfixée reprend la structure de cette phrase et la traduit par
(* 5 (+ 12 4)).
L'opérateur est placé devant les opérandes au lieu d'être placé entre les deux.
On peut aussi utiliser la notation postfixée, ou notation polonaise inverse, dans laquelle l'opérateur est placé après les opérandes. L'expression 5*(12+4) devient alors
5 12 4 + *.
Avantage : on n'a plus besoin ni des parenthèses, ni du signe =.

Les calculatrices Hewlett-Packard utilisent la notation polonaise inverse, économique en nombre de saisies, mais qui demande un effort d'interprétation du calcul à l'usager. Le principe de moindre action, devenant ici principe du moindre effort, fait que ces calculatrices sont finalement peu utilisées. On préfère les calculatrices qui utilisent la notation algébrique habituelle avec parenthèses et signe = pour déclencher le calcul. On peut se contenter de recopier 5*(12+4) et de recueillir le résultat sans avoir la moindre idée de la signification du calcul.
Le principe du moindre effort se révèle pourtant souvent n'être qu'un report de l'effort; la possibilité d'utiliser les calculatrices habituelles sans interprétation préalable du calcul à effectuer disparaît lorsqu'on se trouve confronté à des fractions.
Il suffit de demander le calcul du quotient de 5 par 12+4, représenté par l'expression

pour s'en rendre compte.
Nombreux sont ceux qui oublient de rétablir les parenthèses nécessaires...

Dirichlet

Le mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirislet Poletslet est né le 13 février 1805.
On lui doit l'essentiel de la démonstration du dernier théorème de Fermat à l'aide des entiers de Dirichlet pour le cas où le paramètre est égal à cinq.
On lui doit aussi le principe des tiroirs, qui s'énonce ainsi : si on range n+1 chaussettes dans n tiroirs, il y a un tiroir où il y au moins deux chaussettes !
Plusieurs théorèmes portent son nom :
- le théorème des unités de Dirichlet décrit la structure du groupe des unités d'un corps de nombres.
- le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet : pour tous entiers naturels non nuls a et b premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers de la forme a + n b, où n > 0.
- le théorème de convergence de Dirichlet pour les séries de Fourier, qui porte parfois également le nom de théorème de Jordan-Dirichlet. Il donne des conditions suffisantes pour qu'une fonction périodique soit la somme de sa série de Fourier.